讲解 ECON0027 Game Theory Home assignment 2讲解 Java语言

ECON0027 Game Theory

Home assignment 2

1.  Two players are to play the game G with payofs as given below:

Before they play this game, they each make a statement to the other, in the following sequence.

First, player 1 must choose between two statements, A and B: She can say either

A) “I will play C”, or

B)  “It’s a nice day” .

Player 2 must then choose between the same statements, A and B. Players then choose actions in the game simultaneously.

The payofs of the players are those that accrue in the game G, minus a penalty of Δ > 0, which a player incurs if he or she makes a false statement.  (It so happens, it is a nice day).

Assume that Δ is commonly known to both players. Solve for the subgame perfect equilibria of this game for:

(a) Δ = 0.5;

(b)  Δ = 1.5;

(c)  Δ = 2.5. Explain the diference between these three cases.

2.  Consider the prisoner’s dilemma with payofs as given below:

              g > 0, ` > 0

Suppose that the game is repeated twice,  with the following twist.   If  a  player chooses an action in period 2 which difers from her chosen action in period 1, then she incurs a cost of ε. Players maximize the sum of payofs over the two periods, with discount factor δ = 1.

(a)  Suppose that g < 1 and 0 < g < ε < `. Suppose each player plays the strategy which chooses C at t = 1, and chooses C at t = 2 if (C, C) has been played at t = 1, and D otherwise. Show that this is a subgame perfect equilibrium.

(b)  Let ε > 0 be arbitrary. Show that there is always a subgame perfect equilibrium where (D, D) is played in both periods.

3.  Two players are playing a game “21”. At the beginning of the game player 1 starts by saying number “1”. Then players take turns and increase the number by either 1, 2 or 3. A player that is forced to say a number that is larger or equal to 21 loses and his opponent wins.

(a) Formalize this game. Deine the most appropriate solution concept for it. (b)  Solve for all equilibria of this game.

(c)  Consider a modiication of this game in which a player that is forced to say a number that is larger or equal to 2001 loses.  Which player wins the game in equilibrium? Explain your answer.

4.  The three musketeers, Aramis, Athos and Porthos (players 1,2 and 3 respectively), decide that they are no longer  “all  for one,  one for all” and agree to a truel  (a truel is a duel among three opponents).  According to the rules of the truel, each opponent has a musket loaded with one bullet. The musketeers act sequentially, in alphabetic order starting with Aramis. When his turn comes, a musketeer chooses his target and shoots.  In normal circumstances, a musketeer i  2  f1, 2, 3g hits a target with probability pi  2 [0, 1] (assume that a musketeer cannot miss a target on purpose).  Once a musketeer is wounded in the truel, he cannot shoot and cannot be chosen as a target by another musketeer.  A wounded musketeer has to pay his own medical expenses that are equal to C > 0 (the three musketeers are so tough that they cannot be killed). Assume that the musketeers are risk-neutral and that they minimise their expenses.

(a)  Formalize this situation as a game.

(b) Assuming that a musketeer who is indiferent between two targets picks either with probability 0.5, ind a subgame perfect Nash equilibrium.

(c) For the equilibrium that you found, provide ex ante probabilities of becoming wounded for all three duelists.  Explain intuitively what would change if you drop the assumption that a musketeer cannot miss a target on purpose.